不等式2303コメント

1 じゅー id:P9kXFs91

2013-01-26(土) 21:18:20 [削除依頼]
不等式の次スレですよ
  • 284 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-03(日) 15:02:35 [削除依頼]
    >>280

    階段形の面積は
    T_k = 1+2+…+k = k(k+1)/2,

    T_k - T_{k-1} = k,
    T_k + T_{k-1} = k^2,

    Σ[k=1,n] k^3 = Σ[k=1,n] k・k^2
     = Σ[k=1,n] {T_k - T_{k-1}} {T_k + T_{k-1}}
     = Σ[k=1,n] (T_k)^2 - (T_{k-1})^2
     = (T_n)^2 - (T_0)^2
     = {k(k+1)/2}^2.
  • 285 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-03(日) 15:19:48 [削除依頼]
    >>281

    gcd(m,n) と gcd(m+1,n+1) はいずれも |m-n| の約数。
    これらは互いに素だから
    gcd(m,n) gcd(m+1,n+1) も |m-n| の約数。

    (左辺) = mn/gcd(m,n) + (m+1)(n+1)/gcd(m+1,n+1)
     > mn/gcd(m,n) + mn/gcd(m+1,n+1)
     > 2mn/√{gcd(m,n) gcd(m+1,n+1)}
     ≧ 2mn/√|m-n|.
  • 286 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-04(月) 07:59:32 [削除依頼]
    >>275

    (左辺) - (右辺) = F_0(A,B,C) F_0(AA,BB,CC) + F_1(AB,BC,CA) ≧ 0,

    F_1(A,B,C) = A(A-B)(A-C) + B(B-C)(B-A) + C(C-A)(C-B) ≧ 0,

    >>277

    分母を
     √b +√c -√a = x,
     √c +√a -√b = y,
     √a +√b -√c = z,
    とおくと分子は
     b+c-a = xx - (x-y)(x-z)/2 ≦ {x - (x-y)(x-z)/(4x)}^2,
     √(b+c-a) ≦ x - (x-y)(x-z)/(4x),
    (左辺) ≦ 3 - (x-y)(x-z)/(4xx) - (y-z)(y-x)/(4yy) - (z-x)(z-y)/(4zz)
     = 3 - (xyz/4)F_1(1/x,1/y,1/z)
     ≦ 3.
  • 287 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-06(水) 08:35:22 [削除依頼]
    〔問題579〕
    △の3辺を a,b,c とする。p,q,r >0 に対し、
     aa・p/(q+r) + bb・q/(r+p) + cc・r/(p+q) ≧ ab+bc+ca - (aa+bb+cc)/2,
     等号成立は (p,q,r) = (b+c-a,c+a-b,a+b-c) のとき。

     5ch - 不等式スレ9 - 579,583-584
  • 288 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-07(木) 15:03:12 [削除依頼]
    No. 3723. & 3731.
     Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=s.
     If n is a positive integer, prove that

    (1) (3a)^n /{(b+s)(c+s)} + (3b)^n /{(c+s)(a+s)} + (3c)^n /{(a+s)(b+s)} ≧ (27/16) s^(n-2),

    (2) a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1) ≧ (aa+bb+cc)^n / s^(n-1),

     Crux mathematicoum, Vol.38 No.3 & 4 (2012)
     5ch - math - 不等式スレ9 - 598, 600
  • 289 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-07(木) 15:12:05 [削除依頼]
    No. 3763.
     Let a,b,c be positive real numbers. Prove that
     2a/(2a+b+c) + 2b/(2b+c+a) + 2c/(2c+a+b) ≦ 3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b).

     Crux mathematicorum, Vol.38 No.7 (2012)
     5ch - math - 不等式スレ9 - 599, 603
  • 290 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-22(金) 04:34:26 [削除依頼]
    >>279

    〔補題〕
    F(y)= - log(x_1 / y) /(x_1 -y)は単調増加
     ∵ - log(y) は下に凸だから、平均変化率はyとともに増加する。

    (左辺) - (右辺) = Σ[j=1,n] {x_j・log(x_{j+1}) - x_{j+1}・log(x_j)}
     = Σ[j=1,n] (x_1-x_j)・log(x_1/x_{j+1}) - (x_1-x_{j+1})・log(x_1/x_j)}
     = Σ[j=2,n-1] {(x_1-x_j)・log(x_1/x_{j+1})-(x_1-x_{j+1})・log(x_1/x_j)}
     = Σ[j=2,n-1] (x_1-x_j)(x_1-x_{j+1}) {F(x_j)-F(x_{j+1})}
     > 0 (← x_1 > x_j > x_{j+1})

    ・rio2016.5ch.net - math - 1505269203 - 432,439
  • 291 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-26(火) 13:32:59 [削除依頼]
    〔問題677〕
    Pを凸多面体とし、Pの辺を L_1,L_2,…,L_n とする。
    各 1≦i≦n について L_i を辺にもつPの2つの面を考え、
    その2つの面のなす角を外側から測ったものを θ_i とする。
    (2面の外向き法線のなす角。2面角)
    このとき、Σ[i=1,n] θ_i ≧ 3π であることを示せ。

     JMO夏季セミナー
     jmoss.jp - mon - old.php → 第9回 (G,入江)

     rio2016.5ch.net - math - 面白スレ26 - 677,709,711
     rio2016.5ch.net - math - 不等式スレ9 - 638
  • 292 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-06-26(火) 13:44:04 [削除依頼]
    〔問題602〕
    正整数nと1より大きい正の実数xに対し、
    Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1)
    [x] は xを越えない最大の整数であり、{x} = x - [x] とする。

    ・rio2016.5ch.net - math - 不等式スレ - 602

    〔問題670〕
    nを自然数、xを実数とするとき
     Σ(k=1,n) [kx]/k ≦ [nx]
    を示せ。ただし [x] はxを超えない最大の整数(ガウス記号)である。

    ・rio2016.5ch.net - math - 面白スレ26 - 670,680,684,717
  • 293 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 08:14:07 [削除依頼]
    >>287

    q+r = P,r+p = Q,p+q = R とおくと
    (左辺) = aa・(Q+R-P)/(2P) + bb(R+P-Q)/(2Q) + cc(P+Q-R)/(2R)
     = (1/2)(aa・Q/P + bb・P/Q) + (1/2)(bb・R/Q + cc・Q/R) +(1/2)(cc・P/R + aa・R/P) - (aa+bb+cc)/2
     ≧ ab+bc+ca - (aa+bb+cc)/2  (← AM-GM)
    等号成立は P:Q:R = a:b:c.
  • 294 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 08:23:47 [削除依頼]
    >>288

    No.3723.
    通分すると
    (分子) = (a+s)(3a)^n + (b+s)(3b)^n + (c+s)(3c)^n
     ≧ (4s/3){(3a)^n + (3b)^n + (3c)^n}  (←チェビシェフ)
     = (4s)(3^n)(a^n + b^n + c^n)/3
     ≧ (4s)s^n,
    (分母) = (a+s)(b+s)(c+s) ≦ (4s/3)^3,   (← GM-AM)
    辺々割って
    (左辺) ≧ (27/16)s^(n-2),

    No.3731.
    コーシーの拡張より
     (a+b+c)(a+b+c) … (a+b+c){a^(n+1) + b^(n+1) + c^(n+1)} ≧ (aa+bb+cc)^n,
        (n-1)個
  • 295 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 08:39:50 [削除依頼]
    >>289

    No.3763.
    (左) HM-AM より
     2a/(2a+b+c) ≦ (1/2){a/(a+b) + a/(a+c)},
     2b/(2b+c+a) ≦ (1/2){b/(b+c) + b/(b+a)},
     2c/(2c+a+b) ≦ (1/2){c/(c+a) + c/(c+b)},
    辺々たすと
     (左辺) ≦ 3/2,

    (右)
     (右辺) = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
     ≧ (a+b+c)^2 / {a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}  (←コーシー)
     = ss/(2t)
     ≧ 3/2.       (Nesbitt,Shapiro-3)
  • 296 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 09:06:12 [削除依頼]
    〔問題609〕
    a,b,c を実数とする。
    (2) (aa+bb+cc)^3 ≧(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)^2 + (ab+bc+ca)^3,
    (3) (aa+bb+cc)^3 ≧ 2{(a-b)(b-c)(c-a)}^2,
    (4) 2(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2,

    5ch - math - 不等式スレ9 - 609, 612, 615,
  • 297 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 09:10:13 [削除依頼]
    〔問題611〕
    a,b,c を実数とする。
    (6) (aa+bb+cc)^3 ≧ 8(aa-bc)(bb-ca)(cc-ab),

    (6')
     -(35+13√13)/486 ≦ (aa-bc)(bb-ca)(cc-ab)/(aa+bb+cc)^3 ≦ 1/8,
     -0.1684612481

     5ch - math - 不等式スレ9 - 611, 645-646
  • 298 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-04(水) 09:14:17 [削除依頼]
    〔問題650〕
    実数x_1,x_2,…,x_nに対して次を示せ。
    Σ[i=1,n][j=1,n] |x_i+x_j| ≧ n・Σ[i=1,n] |x_i|

     5ch - math - 不等式スレ9 - 650-654
  • 299 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-05(木) 03:42:11 [削除依頼]
    A+B+C = 180゚ のとき
    (1)
    {sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 ≦ sin((A+B+C)/3) = sin(60゚) = √3 /2,

    (2) フランダースの不等式
    {sin(A)sin(B)sin(C)}^(1/3) ≦ (√3 /2π) 3(ABC)^(1/3) ≦ (√3 /2)(A+B+C)/π = √3 /2,

    (3)
    {sin(A)+sin(B)+sin(C)}/3 と (3√3 /2π)(ABC)^(1/3) の大小は定まるか。

    すうじあむ suseum.jp - gq - question - 2875 への回答2
  • 300 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-13(金) 11:29:39 [削除依頼]
    >>296

    (2)
     aa+bb+cc = S2,ab+bc+ca = t,
    とおく。
     S2 - t = {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2 ≧ 0,
    (S2)^3 + t^3 + t^3 -3S2・tt = (S2+t+t)(S2-t)^2
     = (a+b+c)^2・(S2-t)^2
     = (a^3+b^3+c^3 -3abc)^2,
    ∴ (S2)^3 = (a^3+b^3+c^3-3abc)^2 + t^3 +3(S2-t)tt,

    (3)
    bはaとcの中間にあるとしてよい。
     0 ≦ (a-b)(b-c) ≦ (1/4)(a-c)^2,
     aa+bb+cc = (1/2)(a+c)^2 + (1/2)(a-c)^2 + bb ≧ (1/2)(a-c)^2,
     (左辺) ≧ (1/8)(a-c)^6 ≧ 2(a-c)^2 {(a-b)(b-c)}^2 = (右辺),

    (4)
    (1-i)(a+ib)(b+ic)(c+ia) = (1-i){-(abb+bcc+caa-abc) +i(aab+bbc+cca-abc)}
     = -(a-b)(b-c)(c-a) +i{(a+b)(b+c)(c+a)-4abc},
     絶対値の2乗をとって
     2(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa) = {(a-b)(b-c)(c-a)}^2 + {(a+b)(b+c)(c+a) -4abc}^2,

    5ch - math - 不等式スレ9 - 612, 615,
  • 301 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-13(金) 11:37:50 [削除依頼]
    >>297
    (6)
    基本対称式を a+b+c = s,ab+bc+ca = t,abc = u とおく。
     aa-bc = as-t,bb-ca = bs-t,cc-ab = cs-t,
    より
     (左辺) - (右辺) = (ss-2t)^3 - 8(as-t)(bs-t)(cs-t)
     = (ss-2t)^3 - 8(us^3 - t^3)
     = ss{(ss-3t)^2 + (8/3)(tt-3su) + (1/3)tt}
     ≧ 0,
    等号成立は s = a+b+c = 0.

    5ch - math - 不等式スレ9 - 645
  • 302 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-13(金) 11:50:22 [削除依頼]
    >>298
    〔650〕
    x_1, x_2, …, x_p > 0,
    x_{p+1}, …, x_n ≦ 0, とする。 (0≦p≦n)

    (左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + 2Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
    = Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + 2Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
    = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S(~),
    ここに
     S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|, S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S(~) = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
    とおいた。

    ・p = n/2 のときは成立する。(S~≧0)

    ・0 ≦ p < n/2 のとき
     S(~) ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S(+) - p S(-),
     0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
     S(~) ≧ {(n-2p)/(n-p)}S(~) ≧ (n-2p){S(+) - [p/(n-p)]S(-)},
     (左辺) ≧ n S(+) + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S(-) ≧ n{S(+) + S(-)},

    ・n/2 < p ≦ n のとき
     S(~) ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S(+) + p S(-),
     0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
     S(~) ≧ {(2p-n)/p}S(~) ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S(+) + S(-)},
     (左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S(+) + n S(-) ≧ n{S(+) + S(-)},

    5ch - math - 不等式スレ9 - 652~654
  • 303 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-15(日) 22:22:15 [削除依頼]
    >>296 (2)
    >>300 (2)

     [a,b,c] [a,c,b] [S2,t,t]
     [c,a,b] [b,a,c] = [t,S2,t]
     [b,c,a] [c,b,a] [t,t,S2]
    の行列式は
     D(a,b,c)^2 = D(S2,t,t),
    ここに
     D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
     = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx).
コメントを投稿する
名前必須

投稿内容必須

残り文字

投稿前の確認事項
  • 掲示板ガイドを守っていますか?
  • 個人特定できるような内容ではありませんか?
  • 他人を不快にさせる内容ではありませんか?

このスレッドの更新通知を受け取ろう!

ログインしてお気に入りに登録すると、
このスレッドの更新通知が受け取れます。

お気に入り更新履歴設定

お気に入りはありません

閲覧履歴

  • 最近見たスレッドはありません

キャスフィへのご意見・ご感想

貴重なご意見
ありがとうございました!

今後ともキャスフィを
よろしくお願い申し上げます。

※こちらから削除依頼は受け付けておりません。ご了承ください。もし依頼された場合、こちらからの削除対応はいたしかねます。
※また大変恐縮ではございますが、個々のご意見にお返事できないことを予めご了承ください。

ログイン

会員登録するとお気に入りに登録したスレッドの更新通知をメールで受け取ることができます。

お気に入り更新履歴設定

お気に入りはありません
閲覧履歴
  • 最近見たスレッドはありません