不等式2321コメント

1 じゅー id:P9kXFs91

2013-01-26(土) 21:18:20 [削除依頼]
不等式の次スレですよ
  • 302 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-13(金) 11:50:22 [削除依頼]
    >>298
    〔650〕
    x_1, x_2, …, x_p > 0,
    x_{p+1}, …, x_n ≦ 0, とする。 (0≦p≦n)

    (左辺) = Σ[i,j=1,p] |x_i+x_j| + Σ[i,j=p+1,n] |x_i+x_j| + 2Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
    = Σ[i,j=1,p] (|x_i|+|x_j|) + Σ[i,j=p+1,n] (|x_i|+|x_j|) + 2Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|
    = 2p S(+) + 2(n-p) S(-) + 2S(~),
    ここに
     S(+) = Σ[i=1,p] |x_i|, S(-) = Σ[j=p+1,n] |x_j|, S(~) = Σ[i=1,p][j=p+1,n] |x_i+x_j|,
    とおいた。

    ・p = n/2 のときは成立する。(S~≧0)

    ・0 ≦ p < n/2 のとき
     S(~) ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_i|-|x_j|) = (n-p) S(+) - p S(-),
     0 < (n-2p)/(n-p) ≦ 1 を掛けて
     S(~) ≧ {(n-2p)/(n-p)}S(~) ≧ (n-2p){S(+) - [p/(n-p)]S(-)},
     (左辺) ≧ n S(+) + {n + (n-2p)^2 /(n-p)}S(-) ≧ n{S(+) + S(-)},

    ・n/2 < p ≦ n のとき
     S(~) ≧ Σ[i=1,p][j=p+1,n] (|x_j|-|x_i|) = -(n-p) S(+) + p S(-),
     0 < (2p-n)/p ≦ 1 を掛けて
     S(~) ≧ {(2p-n)/p}S(~) ≧ (2p-n){-[(n-p)/p]S(+) + S(-)},
     (左辺) ≧ {n + (2p-n)^2 /p}S(+) + n S(-) ≧ n{S(+) + S(-)},

    5ch - math - 不等式スレ9 - 652~654
  • 303 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-15(日) 22:22:15 [削除依頼]
    >>296 (2)
    >>300 (2)

     [a,b,c] [a,c,b] [S2,t,t]
     [c,a,b] [b,a,c] = [t,S2,t]
     [b,c,a] [c,b,a] [t,t,S2]
    の行列式は
     D(a,b,c)^2 = D(S2,t,t),
    ここに
     D(x,y,z) = x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
     = (x+y+z)(xx+yy+zz-xy-yz-zx).
  • 304 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-07-24(火) 02:21:32 [削除依頼]
    〔問題2018〕
    a>0,b>0,c>0,a+b+c=3 のとき次を示せ。

     a^(1/2018) + b^(1/2018) + c^(1/2018) + (2/√3) √{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ 3,

     (K. Chikaya, 2018/June/19)

    すうじあむ //suseum.jp/gq/question/2884 を改良
  • 305 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-08(水) 04:28:28 [削除依頼]
    >>304

    {a-1, b-1, c-1} の3つのうち、a-1,b-1 が同符号としてもよい。
    (a-1) + (b-1) + (c-1) = (a+b+c) -3 = 0 だから c-1 は逆符号となる。

    a(1-b) + b(1-c) + c(1-a)
    = a+b+c -ab -(a+b)c
    ≧ a+b+c -[(a+b)/2]^2 -(a+b)c   (← GM-AM)
    = 3 -[(3-c)/2]^2 -(3-c)c    (← a+b=3-c)
    = (3/4)(c-1)^2,
    ∴ (2/√3)√{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)} ≧ |c-1|,

    したがって
    a^(1/L) + b^(1/m) + c^(1/n) + |c-1| ≧ 3,
    が成り立てば十分。

    (1) a,b ≦ 1 ≦ c のとき
    a^(1/L) ≧ a,b^(1/m) ≧ b,c^(1/n) ≧ 1 より
    (左辺) ≧ a+b+1 + (c-1) = a+b+c = 3,

    (2) a,b ≧ 1 ≧ c のとき
    a^(1/L) ≧ 1,b^(1/m) ≧ 1,c^(1/n) ≧ c より
    (左辺) ≧ 1+1+c + (1-c) = 3,

    ここに、L=m=n=2018.
  • 306 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-08(水) 04:41:17 [削除依頼]
    〔Kroneckerの稠密定理〕
    cを無理数とする。
    0≦a<b≦1 なる任意の区間 (a,b) に対して、a < {nc} < b を満たす自然数nが存在する。
    ここで、{x} = x - [x] は実数xの小数部分を表わす。

    (鳩ノ巣原理による証明)  //mathtrain.jp/kronecker

    「証明はむつかしいが,α/πが無理数ならば,単位円周上の定点Aを起点として同じ向きに長さがnαなる弧 APn を取れば,点Pnは円周上に稠密に分布される。」
    高木貞治「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)
  • 307 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-13(月) 11:07:04 [削除依頼]
    >>292

    〔問題670〕
    逆向き三角不等式(?)
     [a+b] = [a] + [b] + [{a}+{b}] ≧ [a] + [b],
    から
    j≧2 のとき
    S_j = (j-1)・[jx] - 2Σ(k=1,j-1) [kx]
      = Σ(k=1,j-1) ( [jx] - [kx] - [(j-k)x] )
      ≧ 0,

    f(x) = [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k
     = Σ(j=2,n-1) (1/j - 1/(j+1))・S_j + (1/n)・S_n
     ≧ 0,

    ・rio2016.5ch.net - math - 面白スレ27 - 144,145
    ・rio2016.5ch.net - math - 不等式スレ9 - 687
  • 308 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-14(火) 01:56:14 [削除依頼]
    >>307

    [nx] - Σ(k=1,n) [kx]/k = Σ(j=2,n) c_j・S_j
    とおく。c_2 ~ c_n は定数。
    まず [nx] を含むのは S_n だけ。
     1 - 1/n = (n-1)c_n,
     c_n = 1/n,
    次に [(n-1)x] を含むのは S_n と S_{n-1}.
     -1/(n-1) = (n-2)c_{n-1} - 2c_n,
     c_{n-1} = 1/(n-1) - 1/n,
    一般に [jx] を含むのは S_n ~ S_j.
     -1/j = (j-1)c_j - 2(c_{j+1} + … + c_n)
        = (j-1)c_j - 2/(j+1),
     c_j = 1/j - 1/(j+1),    (2≦j≦n-1)

    ・rio2016.5ch.net - math - 面白スレ27 - 170
  • 309 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-18(土) 00:03:13 [削除依頼]
    >>306

    (略証)
    [ 1/(b-a) ] + 1 = m とおくと、b-a > 1/m
    鳩ノ巣原理により
    {c}, {2c}, …, {(m+1)c} の中に |{ic} - {jc}| < 1/m となる i
  • 310 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-08-18(土) 00:07:16 [削除依頼]
    >>306

    (略証)
    [ 1/(β-α) ] + 1 = m とおくと、β-α > 1/m
    鳩ノ巣原理により
    {c},{2c},…,{(m+1)c} の中に |{ic} - {jc}| < 1/m となる i≠j がある。
    cは無理数かつ i≠j だから、d = {ic} - {jc} ≠ 0
    n を j-i ずつ増減すれば、{nc} はある公差d(0<|d|<1/m)で増減する。
    ∴ {nc} は 1/|d| 回以内に区間 (α,β) に到達する。

     (rio2016.5ch.net - math - 面白スレ27 - 105,99-100)
  • 311 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 00:41:42 [削除依頼]
    >>126 (7)

    まづ 左辺を a-c, b-d の斉2次式で表わす。
     2 (左辺) = F (a-c)^2 + H (a-c)(b-d) + G (b-d)^2,
    ここに
     F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c),
     G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b),
     H = 3{ -(a+c)/(c+d+a)(a+b+c) + (b+d)/(d+a+b)(b+c+d)},
    とおいた。この斉2次式が正定値となる条件は,
     (判別式) = HH - 4FG < 0,
    そこで F, G, H を評価する。
    AM-HM より
     F = 1/(c+d+a) + 1/(a+b+c) ≧ 4/{2(a+c)+(b+d)},
     G = 1/(b+c+d) + 1/(d+a+b) ≧ 4/{(a+c)+2(b+d)},
    ∴ FG ≧ 16/{2(a+c)^2+5(a+c)(b+d)+2(b+d)^2} ≧ 16/{(9/4)(a+b+c+d)^2} > 7/(a+b+c+d)^2,

    0 < (a+c)/(c+d+a)(a+b+c) = (a+c)/{(a+c)(a+b+c+d)+bd} < 1/(a+b+c+d),
    0 < (b+d)/(b+c+d)(c+d+a) = (b+d)/{(b+d)(a+b+c+d)+ac} < 1/(a+b+c+d),
    ∴|H| < 3/(a+b+c+d)、

    以上により (判別式) = HH - 4FG < 0 したがって左辺は正定値。

     IMO-2008 Short list A.7
     不等式bot(@inequalitybot) [100] ☆12
     //rio2016.5ch.net/math/
     (面白スレ26-535,961  面白スレ27-354,356  不等式スレ9-520 (B3),524,695)
  • 312 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 02:29:47 [削除依頼]
    >>126 (3)

    (左辺)^2 ≦ (ab+bc+ca){a/(c+a)+b/(a+b)+c/(b+c)}  (←コーシー)
     ≦ (1/2)(a+b+c)^2.  (←補題)

    〔補題〕
    a,b,c>0 のとき、
     a/(c+a)+ b/(a+b)+ c/(b+c)≦ 3(ss+t)/(8t) ≦ ss/2t,
     ここに s=a+b+c, t=ab+bc+ca, u=abc.
    (略証)
     a(a+b)(b+c) + b(b+c)(c+a) + c(c+a)(a+b)
     = st + abb+bcc+caa
     = {s(ss+t) -b(a-b)^2 -c(b-c)^2 -a(c-a)^2}/3
     ≦ s(ss+t)/3,
     (c+a)(a+b)(b+c) = st - u ≧ 8st/9,
    から
     (左辺) = (st+abb+bcc+caa)/(st-u) ≦ 3(ss+t)/(8t),

     不等式bot (@inequalitybot) [149]


    類題 [179]
    a,b,c>0 のとき、
     a/(c+a)+ b/(a+b)+ c/(b+c)≦ (ss+3t)/(4t),
  • 313 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 02:48:22 [削除依頼]
    >>126 (4)

    (4) x,y,z が三角形の3辺のとき
      xxy/z + yyz/x + zzx/y ≧ xx + yy + zz.

    (左辺) - (右辺) = {(x+y-z)yy(z-x)^2+(y+z-x)zz(x-y)^2+(z+x-y)xx(y-z)^2}/(2xyz) ≧ 0.

    Art of problem solving
     不等式bot (@inequalitybot) [117]
  • 314 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 03:12:59 [削除依頼]
    >>126 (5)

    (5) x,y,z>0, x+y+z = xy+yz+zx のとき
      1/(xx+y+1) + 1/(yy+z+1) + 1/(zz+x+1) ≦ 1,

     s = x+y+z、t = xy+yz+zx、u = xyz とおく。
    コーシーにより、
    (左辺) ≦ {(1+y+zz) + (1+z+xx) + (1+x+yy)}/(x+y+z)^2
     = (3+s+ss-2t)/ss
     = 1 - (ss-3t)/s^3  (← s=t)
     ≦ 1.   (← ss-3t≧0)

     セルビアTeamSelectionTest-2009 day2-Q.2
     不等式bot (@inequalitybot) [118]
  • 315 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 03:21:06 [削除依頼]
    >>126
     (1) [140] >>148-149
     (2) [148] >>127 >>129
     (3) [149] >>312
     (4) [117] >>313
     (5) [118] >>314
     (6) [103] >>133-134 >>139 >>141
     (7) [100] >>311
     (8) [150] >>144 >>146, 前スレ.330,375

    [ ] は不等式bot(@inequaltybot)の番号.
  • 316 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 04:26:25 [削除依頼]
    >>312

    [149]
     a/(c+a) + b/(a+b) + c/(b+c) ≦ 0.375 (ss + t) /t,

    [179]
     a/(c+a) + b/(a+b) + c/(b+c) ≦ 0.25 (ss + 3t) /t,

    >>157
     a/(c+a) + b/(a+b) + c/(b+c) ≦ k {ss + (1.5-3k)/k・t} /t,
    k = (1/3)√(2√3 -3) = 0.227083346211
  • 317 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 04:56:26 [削除依頼]
    >>173

    xxy + zzx ≦ k (xxx+yyy+zzz),
    として AM-GM の形にすると
    xxy ≦ {1/√(27k)}xxx + {1/√(27k)}xxx + kyyy,
    zzx ≦ (k/2)zzz + (k/2)zzz + (4/27kk)xxx,
    辺々たすと
    (与式)≦ {√(4/27k) + (4/27kk)}xxx + k(yyy+zzz)、
    xxx の係数から
     √(4/27k) + (4/27kk) = k,

    さらに細工をして (3k)^(3/2) = 2φ とおくと
     φφ - φ -1 = 0,
     φ = (1+√5)/2, 黄金比
    k = (1/3)(2φ)^(2/3) = 0.729273617371612
  • 318 prime_132 id:SNLXmn7v

    2018-11-12(月) 23:57:47 [削除依頼]
    〔問題854〕
    a,b,c (>0) の 相加平均A、相乗平均G、調和平均Hは
     A = (a+b+c) / 3,
     G = (abc)^(1/3),
     H = 3 / (1/a+1/b+1/c),
    で与えられます。このとき、
     (3/4) (1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1,

    ( //rio2016.5ch.net/math/ 不等式スレ9 - 854,859 )
    ( //suseum.jp/gq/question/2948 )
  • 319 prime_132 id:SNLXmn7v

    2018-11-13(火) 01:15:11 [削除依頼]
    >>318 の問題で {a,b,c} のうちの2つが一致すれば等号が成立するらしい。。。
  • 320 コルム id:4T1q8Y3y

    2018-11-14(水) 18:20:49 [削除依頼]
    失礼します。
    すみません。マルチポストです。
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0
  • 321 コルム id:4T1q8Y3y

    2018-11-14(水) 18:22:13 [削除依頼]
    すみません。マルチポストです。
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0
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