不等式2336コメント

1 じゅー id:P9kXFs91

2013-01-26(土) 21:18:20 [削除依頼]
不等式の次スレですよ
  • 317 prime_132 id:LWRiPIkc

    2018-09-07(金) 04:56:26 [削除依頼]
    >>173

    xxy + zzx ≦ k (xxx+yyy+zzz),
    として AM-GM の形にすると
    xxy ≦ {1/√(27k)}xxx + {1/√(27k)}xxx + kyyy,
    zzx ≦ (k/2)zzz + (k/2)zzz + (4/27kk)xxx,
    辺々たすと
    (与式)≦ {√(4/27k) + (4/27kk)}xxx + k(yyy+zzz)、
    xxx の係数から
     √(4/27k) + (4/27kk) = k,

    さらに細工をして (3k)^(3/2) = 2φ とおくと
     φφ - φ -1 = 0,
     φ = (1+√5)/2, 黄金比
    k = (1/3)(2φ)^(2/3) = 0.729273617371612
  • 318 prime_132 id:SNLXmn7v

    2018-11-12(月) 23:57:47 [削除依頼]
    〔問題854〕
    a,b,c (>0) の 相加平均A、相乗平均G、調和平均Hは
     A = (a+b+c) / 3,
     G = (abc)^(1/3),
     H = 3 / (1/a+1/b+1/c),
    で与えられます。このとき、
     (3/4) (1 + A/H)^2 ≧ (A/G)^3 + (G/H)^3 + 1,

    ( //rio2016.5ch.net/math/ 不等式スレ9 - 854,859 )
    ( //suseum.jp/gq/question/2948 )
  • 319 prime_132 id:SNLXmn7v

    2018-11-13(火) 01:15:11 [削除依頼]
    >>318 の問題で {a,b,c} のうちの2つが一致すれば等号が成立するらしい。。。
  • 320 コルム id:4T1q8Y3y

    2018-11-14(水) 18:20:49 [削除依頼]
    失礼します。
    すみません。マルチポストです。
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0
  • 321 コルム id:4T1q8Y3y

    2018-11-14(水) 18:22:13 [削除依頼]
    すみません。マルチポストです。
    各辺の長さが1で底面ABCDが正方形である四角錐O-ABCDがある。辺OBの中点をP、辺ODをt:(1-t) (0
  • 322 prime_132 id:q9kpS1ju

    2018-11-24(土) 15:33:33 [削除依頼]
    恒等式だが…

    〔問題2955〕
    a,b が複素数のとき、次を示せ。
    (1) 2 + 2|a|^2 = |1-a|^2 + |1+a|^2,
    (2) 2|aa - b|^2 + 2|a(1-b)|^2 = |(1-a)(a+b)|^2 + |(1+a)(a-b)|^2,

    ( //suseum.jp/gq/question/2955 )
  • 323 prime_132 id:q9kpS1ju

    2018-11-27(火) 22:34:27 [削除依頼]
    〔問題168〕- 改
    a,b,c>0 のとき
     (aa-bc)(b+c)^r + (bb-ca)(c+a)^r + (cc-ab)(a+b)^r ≧ 0, (r<1)
    .                           ≦ 0, (r>1)
    .                           = 0, (r=1)
    V.Cirtoaje:"Algebraic inequalities"、1-1-7
    Inequalitybot [168] - 改
    ( //rio2016.5ch.net/math/ 不等式スレ9, 888-890 )
  • 324 prime_132 id:q9kpS1ju

    2018-12-02(日) 03:34:39 [削除依頼]
    〔問題2969〕
    aa+bb+cc = 2 のとき
     {3 - (ab+bc+ca)}^3 / {(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ 27/8,
      (by K. Chikaya)

    ( //suseum.jp/gq/question/2969 )
    ( //rio2016.5ch.net/math/ 不等式9-949)
  • 325 prime_132 id:q9kpS1ju

    2018-12-04(火) 04:46:28 [削除依頼]
    〔問題950〕
    a,b,c > 0 に対して、
    (a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/(a+b+c)^2,

    ( //rio2016.5ch.net/math/ 不等式スレ9-950 )
  • 326 prime_132 id:YVMFtph8

    2018-12-10(月) 02:06:46 [削除依頼]
    〔問題A-1〕
     nを3以上の自然数とし,-1≦a≦1 とするとき,方程式
      z^n + az^{n-1} + az + 1 = 0,
    のすべての複素数解は原点を中心とする単位円周上にあることを証明せよ。
    (近畿大学 数学コンテスト21,2018/11/03)

    ( //www,math,kindai,ac,jp/index,php?id=84 → 第21回(H30年) )
    ( //rio2016,5ch,net/math/ 分かスレ449-317, 443 )
    ( //suseum,jp/gq/question/2987 )
  • 327 prime_132 id:q9kpS1ju

    2018-12-22(土) 04:59:38 [削除依頼]
    〔問題A-3〕
     a, b ≧1 のとき不等式
      (1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
    が成り立つことを証明して下さい。
    (近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03)

    ( //www,math,kindai,ac,jp/index,php?id=84 → 第21回(H30年) )
    ( //rio2016,5ch,net/math/ 不等式スレ10-013 )
    ( //suseum,jp/gq/question/2997 )
  • 328 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-01(火) 01:02:22 [削除依頼]
    >>262
    凡例
    (a, b, c) = (1, 1, 0.997932205334536) のとき
    (左辺) = 6.24382(1+1+c^4)

    (a, b, c) = (1, 0.997932205334536, 0.997932205334536) のとき
    (左辺) = 4.33173(1+b^4+c^4)
  • 329 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-01(火) 11:00:15 [削除依頼]
    >>262 >>328

    9(c^2018 -c^30 +3) ≧ 6.24381652192815174950 (1+1+c^4)
    等号は c=0.99793195823803304699 のとき。

    3(b^2018 -b^30 +3)(c^2018 -c^30 +3) ≧ 4.33172677212224351224 (1+b^4+c^4)
    等号は b=c=0.997932081467796745115 のとき。

    重ね重ね orz
  • 330 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-08(火) 01:56:51 [削除依頼]
    >>262
    x0 = 0.997932205334536 とおく。  >>328

    (x^2018 -x^30 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
    ここに k = 2.9804335869522917

    (左辺) = (a^2018 -a^30 +3)(b^2018 -b^30 +3)(c^2018 -c^30 +3)
    ≧ k [{(a/x0)^12 +1 +1}{1 +(b/x0)^12 +1}{1 +1 +(c/x0)^12}]^{1/3}
    ≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4}  (←コーシー)
    = (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
    = 3.0052132512063748 (a^4 + b^4 + c^4)
  • 331 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-20(日) 22:47:10 [削除依頼]
    >>327

    左:
     0 < t < 1/2 ⇒ 1-t > t,
     1/2 < t < 1 ⇒ t > 1-t,

    ∴ (中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
     = [ t^{a+b-1} ](0→1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2→1)
     = (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
     = (1/2)^{a+b-2},

    右:
    ヤングの不等式 または GM-AM より
     t^{a-1}・(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),

    ∴ (中辺) < [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0→1) /(a+b-2)
     = [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
     = 1,

    ( //rio2016,5ch,net/math/ 不等式スレ10-032)
  • 332 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-20(日) 23:07:38 [削除依頼]
    >>318 >>319
    (3/4)(1 + A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1 = (1/108){(a-b)(b-c)(c-a)/abc}^2 ≧ 0,

    (略証)
    s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, ⊿ = (a-b)(b-c)(c-a),
    とおく。
    A = s/3, G = u^(1/3), H = 3u/t ゆえ
    (3/4)(1+A/H)^2 - (A/G)^3 - (G/H)^3 -1
    = (3/4)(1+st/9u)^2 - s^3/27u - t^3/27uu -1
    = (1/(108uu)){(st+9u)^2 - 4s^3u - 4t^3 - 108uu}
    = (1/108)(⊿/u)^2,
  • 333 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-21(月) 01:32:46 [削除依頼]
    >>326
     >>269 から出る(?)

    〔定理1.2〕
    1 > a > b > c > ・・・・ > 0 とするとき、相反方程式
     z^n + az^{n-1} + bz^{n-2} + cz^{n-3} + ・・・・・ + cz^3 + bz^2 + az^1 + 1 = 0,
    のすべての解は原点を中心とする単位円周上にある。
  • 334 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-21(月) 02:29:15 [削除依頼]
    >>324
    3 - (ab+bc+ca) = (3/2)(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca)
    = [(a+b-c)^2 + (b+c-a)^2 + (c+a-b)^2] /2,
    あとは AM-GM で。
  • 335 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-21(月) 02:45:13 [削除依頼]
    >>323
     x = (b+c)^r,
     y = (c+a)^r,
     z = (a+b)^r,
    とおくと
     a = (y^{1/r} + z^{1/r} - x^{1/r}) /2,
     b = (z^{1/r} + x^{1/r} - y^{1/r}) /2,
     c = (x^{1/r} + y^{1/r} - z^{1/r}) /2,
     aa-bc = {y^(2/r) +z^(2/r) -x^(1/r)[y^(1/r) + z^(1/r)]} /2,
     bb-ca = {z^(2/r) +x^(2/r) -y^(1/r)[z^(1/r) + x^(1/r)]} /2,
     cc-ab = {x^(2/r) +y^(2/r) -z^(1/r)[x^(1/r) + y^(1/r)]} /2,

    (左辺) = (aa-bc)x + (bb-ca)y + (cc-ab)z
     = {x^(2/r)y + xy^(2/r) - (x+y)(xy)^(1/r)}/2 + ・・・・
     = (x^{1/r} - y^{1/r}) (x^{1/r -1} - y^{1/r -1}) xy + ・・・・
     {1/r} と {1/r -1} が同符号のとき ≧ 0,
     {1/r} と {1/r -1} が逆符号のとき ≦ 0.
  • 336 prime_132 id:q9kpS1ju

    2019-01-22(火) 05:05:21 [削除依頼]
    >>325
    bはaとcの中間にあるとしてよい。
     (a-b)(b-c) ≧ 0,
     (c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,

    s = a+b+c,u = abc とおく。
    (左辺 - 右辺)・ssu
    = [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
    = (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
    = [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)・2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
    ≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
    = 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
    ≧ 0,

     (b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
     bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
     (a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,
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