平面図形277コメント

1 1 id:ttOe0wj0

2007-12-20(木) 06:28:32 [削除依頼]
平面図形についてのスレッドです。
  • 258 ななし id:qkQUAA81

    2012-05-04(金) 02:39:48 [削除依頼]
    >>257 まづ、軸を45゚回して  u = (x+y)/√2,  v = (x-y)/√2, とおく。 円: (u-c)^2 + v^2 = r^2, 直角双曲線: u^2 - v^2 = d^2, あるいは 円: v^2 = r^2 - (u-c)^2, 直角双曲線: v^2 = u^2 - d^2, 円は(u,v)=(c±r,0) を通り、双曲線は (u,v)=(d,0) を通る。 題意より d≦c-r だから ∴ v=0 では 双曲線が内側、円が外側にある。(原点から見て) 求める条件は、u≧ c-r に対して  u^2 - d^2 ≧ r^2 - (u-c)^2,  f(u) = 2(u - c/2)^2 + (1/2)c^2 -d^2 -r^2 ≧ 0, (1) r ≦ c/2 のとき  f(u) ≧ f(c-r) = (c-r)^2 - d^2 ≧ 0,  d+r = c のとき (u,v) = (d,0) で接触する。 (2) r ≧ c/2 のとき  f(u) ≧ f(c/2) = (1/2)c^2 -d^2 -r^2 ≧ 0,  d^2 + r^2=(1/2)c^2 のとき (u,v) = (c/2, v ') で接触する。  ±v ' = √{(c/2)^2 - d^2} = √{r^2 - (c/2)^2}, (答)  r≦c/2 (または d≧c/2) では d+r = c,  r≧c/2 (または d≦c/2) では d^2 + r^2 = (1/2)c^2,
  • 259 ななし id:qkQUAA81

    2012-05-04(金) 04:52:16 [削除依頼]
    >>258 (補足) 直角双曲線の曲率半径は点(x,y)により変わりますが、  R = d・{(1/2)(x/y + y/x)}^(3/2), となり、x=y(v=0)のとき最小(d)です。 (1) r≦d のとき、v=0 で接する。 (2) r>d のとき、v≠0 で接する。
  • 260 Cavalieri id:I9FGbTJ1

    2012-05-12(土) 07:05:57 [削除依頼]
    〔問題841〕 xy平面内(x,y>0)で、  | log(x) | + | log(y) | ≦ | log(a) |,  (a>0) を満たす領域の面積が  S(a) = (a - 1/a)log(a) であることを示せ。ただし、対数は自然対数とする。  2ch - 数学板 - 東大入試作問者スレ20 - 841
  • 261 ななし id:I9FGbTJ1

    2012-05-12(土) 22:24:29 [削除依頼]
    >>260  x = exp(X), y = exp(Y) とおくと、問題の領域は正方形  |X| + |Y| < |A|, である。A = log(a)  S(a) = ∬[題意] dxdy     = ∬[|X|+|Y|<|A|] exp(X)dX exp(Y)dY     = ∬[X>0,Y>0;X+Y<|A|] 4cosh(X)cosh(Y) dXdY     = 2sinh(A)・A     = (a - 1/a)log(a),
  • 262 prime_132 id:ukawDc61

    2012-12-13(木) 05:16:08 [削除依頼]
    〔問題536〕
    平面曲線Cの曲率Kが一定(≠0)ならば、曲線Cは円であることを弧長sを使って示したいです。

    曲線C上の点の座標を (x(s),y(s)), sは弧長, とおいて、
     (x")(y')-(x')(y") = K, まではたどり着いたのですが
     (x')^2 + (y')^2 = 1, ・・・・・(*) 之をsで微分して、
     (x')(x") + (y')(y") = 0,
    まで辿り着きました。
    この後はどうすればよいのでしょうか?

     2ch - 数学板 - 分かスレ377 - 536,539
  • 263 prime_132 id:ukawDc61

    2012-12-13(木) 05:24:29 [削除依頼]
    >>262 連立させて、(x ", y ")について解く。 (*)を使うと、  x " = K{(x ')^2+(y ')^2}y ' = Ky ',  y " = -K{(x ')^2+(y ')^2}x ' = -Kx ’, sで積分して、  x ' = K(y-b),  b:積分定数.  y ' = -K(x-a),  a:積分定数. これらを (*) に入れて、  (x-a)^2 + (y-b)^2 = (1/K)^2,  2ch - 数学板 - 分かスレ377 - 544,547
  • 264 prime_132 id:O9JkLg//

    2012-12-14(金) 22:18:35 [削除依頼]
    >>263 の訂正 連立させて、(x ", y ")について解く。 (*)を使うと、  x " = Ky '/{(x ')^2+(y ')^2} = Ky '  y " = -Kx '/{(x ')^2+(y ')^2} = -Kx ’ ですた。
  • 265 prime_132 id:/0alqYK.

    2013-01-15(火) 01:49:06 [削除依頼]
    〔問題344〕
    三角形の3辺の垂直二等分線は、1点で交わることを証明しなさい。

     2ch - 分かスレ378 - 344
  • 266 ななし id:/0alqYK.

    2013-01-15(火) 01:56:37 [削除依頼]
    >>265  Pが 辺ABの垂直二等分線上にある ⇔ AP=BP  Qが 辺BCの垂直二等分線上にある ⇔ BQ=CQ  Rが 辺CAの垂直二等分線上にある ⇔ CR=AR と推移律から出す。
  • 267 じゅー id:Mn.o8JY0

    2013-04-06(土) 12:24:29 [削除依頼]
    面白いことに気づいたので出題します。
    △ABCと内接円ΓがありΓと各辺との接点をD,E,Fとします。
    (BCとΓの接点がD)
    内心をIとします。
    以下のことを示せ。
    (1)
    △AID、△BIE、△CIFの外接円は共点。
    (2)
    BE,CFとΓの交点をQ,RとするときBC,EF,QRは共点。
  • 268 じゅー id:Mn.o8JY0

    2013-04-06(土) 12:27:36 [削除依頼]
    (1)と関連のある問題をもう一題。
    △ABCの外心をO、各辺の中点をD,E,Fとします。
    △AOD,△BOE,△COFの外接円は共点であることを示せ。

    (1)と(2)の関連は特にありません。
    そんなに難しい問題でもありませんが…
  • 269 prime_132 id:y4S7Pnt.

    2013-05-04(土) 14:00:35 [削除依頼]
    〔問題133〕
    AB=c、BC=a、CA=b, a<c, b<c とする。

    Cから∠Aの二等分線に垂線CFを下ろし、
    Cから∠Bの二等分線に垂線CGを下ろす。

    CF、CGを延長して辺ABと交わる点をI、Hとする。

    (1) HIの長さをa,b,cで表わせ。
    (2) FGの長さをa,b,cで表わせ。

    2ch - 数学板 - 面白い問題スレ20-133,155,159
  • 270 prime_132 id:QUJd5xU0

    2013-07-13(土) 22:50:40 [削除依頼]
    〔問題〕
     4辺形ABCDの辺長の平方和
     AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4MN^2,
    を示せ。
    ここにMは対角線ACの中点、Nは対角線BDの中点とする。
  • 271 ななし id:QUJd5xU0

    2013-07-13(土) 23:11:40 [削除依頼]
    >>270 ↑AC = ↑AB + ↑BC = -↑CD - ↑DA ∴ AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2(AB・BC) = CD^2 + DA^2 + 2(CD・DA), ∴ [左辺] = 2AC^2 - 2(AB・BC) -2(CD・DA), ↑BD = ↑BC + ↑CD = -↑DA - ↑AB ∴ BD^2 = BC^2 + CD^2 + 2(BC・CD) = DA^2 + AB^2 + 2(DA・AB), ∴ [左辺] = 2BD^2 -2(BC・CD) -2(CD・DA), 辺々たして  [左辺] = AC^2 + BD^2 - ((AB+CD)・(BC+DA))      = AC^2 + BD^2 - ((2MN)・(-2MN))      = AC^2 + BD^2 + 4MN^2,
  • 272 ななし id:k.HUBiB/

    2013-07-14(日) 01:20:57 [削除依頼]
    >>271 の〔修正〕を.... 辺々たして  [左辺] = AC^2 + BD^2 - ((↑AB+↑CD)・(↑BC+↑DA))      = AC^2 + BD^2 - ((2↑MN)・(-2↑MN))      = AC^2 + BD^2 + 4MN^2, (長さ)^2 の関係式だから、n個の成分に分けてもいいな。
  • 273 prime_132 id:ynjxfZL.

    2013-08-23(金) 21:49:34 [削除依頼]
    〔問題316〕
    三角形の内部にある相異なるn個の点によって、
    この三角形は2n+1個の領域に三角形分割されることを証明せよ。

     2ch - 数学板 - 面白い問題スレ20 - 316,340
  • 274 じゅー id:XLTm/pb/

    2013-09-11(水) 12:04:47 [削除依頼]
    3点 A,B,C に対し、I(A,B,C) を △ABC の内心とする。
    任意の A,B,C∈R^2 に対し f(A)+f(B)+f(C)=3f(I(A,B,C))
    を満たす関数 f:R^2→R をすべて求めよ。
  • 275 ななし id:E/YwIu31

    2013-09-11(水) 19:51:02 [削除依頼]
    >>273  nについての帰納法による。  n=1 のとき、△はP1により3分割されるので成り立つ。  n-1 について成り立つとする。(帰納法の仮定)  各点が互いに異なることから、n番目の点Pnは△の内部または辺上にある。 (1) Pnがいずれかの△の内部にあるとき、   その△はPnにより3分割される。 (2) Pnがいずれかの辺上にあるとき、   その辺を共有する2つの△がPnにより4分割される。  よってnについても成り立つ。
  • 276 prime_132 id:L.Cqkj41

    2013-10-18(金) 21:11:40 [削除依頼]
    >>3 〔問題1-438〕  a, b ≧0,  a^2012 + b^2011 ≦ a^2011 + b^2010, のとき  a^2011 + b^2011 ≦ 2, を示せ。
  • 277 prime_132 id:5KPBzBQ/

    2013-10-23(水) 22:35:00 [削除依頼]
    >>276 は取り消しまする。(スレチのため)
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