1 にこ [2006/11/01(水) 23:29:19]
∫ｅ^(-x^2)dxってどうやって解くの？
33 だるまにおん [2010/11/30(火) 00:28:19 ID:darumaotoshi] sage
>>32
正解です。
>>類題
今度はx^6+1が消えた…!!Σ(･口･;)
x=1/t とおくと
∫(x^1.5)/{(x^5 +1)(x^6 +1)} dx = ∫(t^7.5)/{(1+t^5)(1+t^6)} dt,
∴ 相加平均をとって
(1/2)∫(t^1.5)/{(1+t^5)(1+t^6)} dt + (1/2)∫(t^7.5)/{(1+t^5)(1+t^6)} dt
= (1/2)∫(t^1.5 + t^7.5)/{(1+t^5)(1+t^6)} dt
= (1/2)∫(t^1.5)/(1+t^5) dt
= (1/5)∫1/(1+u^2) du (← u=t^2.5)
= (1/5)arctan(u)
= (1/5)arctan(t^2.5),
(0,∞) で積分すると、 π/10.
34 だるまにおん [2010/11/30(火) 00:32:18 ID:darumaotoshi] sage
出題
lim[n→∞]√n∫[-π/2,π/2](cosθ)^ndθ=?
35 prime_132 [2010/12/01(水) 22:23:31] sage
>>34
∫[-π/2,π/2] (cosθ)^n dθ = I_n とおく。
I_0 = π, I_1 = [ sinθ ](-π/2,π/2) = 2,
n≧2 のとき
∫(cosθ)^n dθ
= (cosθ)^(n-1)･sinθ + (n-1)∫(cosθ)^(n-2)･(sinθ)^2 dθ
= (cosθ)^(n-1)･sinθ + (n-1)∫{(cosθ)^(n-2) - (cosθ)^n} dθ,
∫(cosθ)^n･dθ = (1/n)(cosθ)^(n-1)･sinθ + {(n-1)/n}∫(cosθ)^(n-2)･dθ,
∴ I_n = {(n-1)/n}I_(n-2)
= ……
= {(n-1)!!/n!!}I_1 = {(n-1)!!/n!!}2 (n:奇数)
= {(n-1)!!/n!!}I_0 = {(n-1)!!/n!!}π (n:偶数)
∴ n･I_(n-1)･I_n = 2π,
∴ lim[n→∞) (√n)I_n = √(2π),
37 だるまにおん [2010/12/02(木) 00:05:01 ID:darumaotoshi] sage
出題
f(x)を閉区間[0,1]で連続な函数とする。
lim[n→∞] n ∫[0,1] x^n*f(x) dx = ?
38 だるまにおん [2010/12/04(土) 19:34:33 ID:darumaotoshi] sage
出題
f(x)を閉区間[0,1]で連続な函数とする。
lim[n→∞]∫[-1/n,1/n] (n-n^2|x|)*f(x) dx = ?
39 だるまにおん [2010/12/05(日) 03:40:22 ID:darumaotoshi] sage
>>38
訂正
× f(x)を閉区間[0,1]で連続な函数とする。
○ f(x)を閉区間[-1,1]で連続な函数とする。
40 じゅー [2010/12/06(月) 22:07:59] sage
>>37
あんま積分とかわかってない僕が言うのもあれですが…
n∫[0,1]x^n*f(x)dx
=n([x^(n+1)*f(x)/(n+1)][0,1]-∫[0,1]x^n*f'(x)dx)
=n1^(n+1)*f(1)/(n+1)-n∫[0,1]x^n*f'(x)dx
=nf(1)/(n+1)-nf'(1)/(n+1)+nf''(1)/(n+1)-nf'''(1)/(n+1)+…
=n/(n+1)(f(1)-f'(1)+f''(1)-f'''(1)+…)
だから、
lim[n→∞]n∫[0,1]x^n*f(x)dx
=lim[n→∞]n/(n+1)(f(1)-f'(1)+f''(1)-f'''(1)+…)
=f(1)-f'(1)+f''(1)-f'''(1)+…
???????????
41 prime_132 [2011/01/03(月) 01:50:07] sage
>>16
(与式) = ∫[0,π/4] log{1 - (sinθ)^2} dθ
< ∫[0,π/4] {-(sinθ)^2 -(1/2)(sinθ)^4} dθ
= ∫[0,π/4] {-(11/16) +(3/4)cos(2θ) -(1/16)cos(4θ)} dθ
= [-(11/16)θ +(3/8)sin(2θ) -(1/64)sin(4θ)](0,π/4)
= (3/8) - (11/64)π
= -0.164961237335746
< -0.142699081698724
= (1/2) - (π/8),
なお、(与式) ≒ -0.17282745097524
42 prime_132 [2011/01/16(日) 16:47:42] sage
>>16
log(cos(x)) = -log(2) + cos(2x) - cos(4x)/2 + cos(6x)/3 - cos(8x)/4 + ････
∫log(cos(x)) dx = -log(2)x + sin(2x)/2 - sin(4x)/8 + sin(6x)/18 - sin(8x)/32 + ････
(与式) = 2∫[0,π/4] log(cos(x))dx = -(π/2)log(2) + Σ[m=0,∞) (-1)^m / (2m+1)^2
= - (π/2)log(2) + G,
カタランの定数
G = Σ[m=0,∞) (-1)^m / (2m+1)^2
= -∫[0,1] log(x)/(1+x^2) dx
= (1/2)∫[0,1] Ｋ(k) dk （Ｋ：第１種の完全楕円積分）
= 0.915965594177219015054603514932････
43 prime_132 [2011/01/17(月) 22:09:06] sage
>>42
G ＝ Σ[m=0,∞) (-1)^m / (2m+1)^2
≒ Σ[m=0,N-1] (-1)^m / (2m+1)^2 + {(-1)^N /(2N+1)^2}{1/2 + 1/(2N+1)}
≒ Σ[m=0,N-1] (-1)^m / (2m+1)^2 + (-1)^N /(8N^2 + 6),
44 prime_132 [2011/03/21(月) 01:29:51] sage
〔問題〕
∫[0,∞) f(x) dx の値を求めよ。 { f(x) = 1/(x^4 + 1) },
原点を中心とする半径Rの半円C(R）と、-RとRを結ぶx軸上の線分C1をとり、
C = C(R) + C1 として、Cの内部の特異点exp(i･π/4)、exp(i･3π/4)を求めるのは分かるのですが････
2ch - 数学板 - 分かスレ３５１ - 383
45 prime_132 [2011/03/21(月) 01:33:25] sage
>>44
故人曰ク、實數ノコトハ實數デセヨ、ト。
1/(x^4 +1) = (1-x^2)/{2(x^4 +1)} + (x^2 +1)/{2(x^4 +1)}
= (x√2 +1)/{4[x^2 +(√2)x +1]} - (x√2 -1)/{4[x^2 -(√2)x +1]}
+ 1/{4[x^2 +(√2)x +1]} + 1/{4[x^2 -(√2)x +1]}
= (2x+√2)/{(4√2)[x^2 +(√2)x +1]} - (2x-√2)/{(4√2)[x^2 -(√2)x +1]}
+ 1/{2[(x√2 +1)^2 +1]} + 1/{2[(x√2 -1)^2 +1]}
これを積分して
∫1/(x^4 +1) dx = {1/(4√2)}log{[x^2 +(√2)x +1]/[x^2 -(√2)x +1]}
+ {1/(2√2)}{arctan((x√2 +1) + arctan(x√2 -1)},
x を [0, ∞) で動かすと
(与式) = π/(2√2),
47 ﾌﾞ ﾘ ｼﾞ ｯ ﾀ [2011/04/29(金) 22:33:31]
f(x)は[a,b]で非負、連続とする。
積分区間を[a,b]とするとき、
(∫f(x)cosxdx)^2+(∫f(x)sinxdx)^2≦(∫f(x)dx)^2
を示せ。
48 prime_132 [2011/04/30(土) 10:56:25] sage
>>47
(d/dx)(左辺) = 2f(x) cos(x)∫[a,x] f(t)cos(t)dt
+ 2f(x) sin(x)∫[a,x] f(t)sin(t)dt
= 2f(x)∫[a,x] f(t)cos(x-t) dt
≦ 2f(x)∫[a,x] f(t)dt (← 非負)
= (d/dx)(右辺),
これを x=a から x=b まで積分。
49 ﾌﾞ ﾘ ｼﾞ ｯ ﾀ [2011/04/30(土) 21:36:51] sage
>>48
正解です。
(∫f(x)dx)^2-(∫f(x)cosxdx)^2-(∫f(x)sinxdx)^2
=∬_[D]f(x)f(y)(1-cos(x-y))dxdy D:=[a,b]×[a,b]
50 ﾌﾞ ﾘ ｼﾞ ｯ ﾀ [2011/04/30(土) 21:43:23]
f'(x)≧-1
f(-1)≧f(1)
∫[-1,1]f(x)dx=0
をみたす函数f(x)のうち
∫[-1,1](f(x))^2dx
を最大にするものを求めよ。
51 !ninja [2011/08/02(火) 23:16:07]
∫[1→2] x^4/(1+2^x) dx
この定積分はどうやって求めればよいでしょうか？
お教え下さい
52 冬 [2011/08/03(水) 22:26:27]
>>51
∫(dx/(1+2^x))
=∫(log2-(2^x)log2/(1+2^x))dx/log2
=xlog2+log2∫(dx/(1+2^x))
を利用して部分積分を4回すればできます。
53 冬 [2011/08/18(木) 22:03:08]
有名問題ですが…
∫[0,1]dx/(x^3+1)
を求めよ。
54 “黒髪” [2012/01/05(木) 15:53:40]
質問。
∫[a,x] (x-t)f(t)dt = log x
を満たすa,f(x)を求めよ。
…という問題について、
両辺をxで2回微分すればf(x)=-1/x^2、
両辺にx=aを代入してa=1、と
答え(?)は求まるのですが、
∫[1,x] (x-t)(-1/x^2)dt を計算しても
log xにならないように思います。たぶん。
何が間違っているでしょうか？
55 “黒髪” [2012/01/05(木) 15:55:59]
>>54 訂正。
8行目の式
× ∫[1,x] (x-t)(-1/x^2)dt
○ ∫[1,x] (x-t)(-1/t^2)dt
下の式も、僕が計算したらlog xにはなりませんでした。
僕の計算ミスでしょうか？
56 冬 [2012/01/05(木) 21:10:21]
>>54-55
「f(x),aが存在する⇒f(x)=-1/x^2,a=1」
であって逆は成り立ちません。
具体的には
∫[a,x](x-t)f(t)dt=logx+ax+b（a,bは定数)
のa,bが微分により消えてしまうので、同値性が崩れてしまいます。
57 “黒髪” [2012/01/05(木) 21:56:51]
>>56
たしかに、∫[1,x] (x-t)(-1/t^2)dtを計算してみたら
log x +ax+bの形になったように思います。
∫[a,x] (x-t)f(t)dt = log x
をみたすようなf(x)とaの組は存在しない、
ということでしょうか？
58 冬 [2012/01/05(木) 23:24:27] sage
そういうことです。
60 prime_132 [2012/03/10(土) 02:00:02] sage
〔問題60〕
exp{(X+Y)/2} ≦ {exp(X) - exp(Y)}/(X-Y) ≦ {exp(X) + exp(Y)}/2,
2ch - 数学板 - 不等式スレ５ - 943-947
61 prime_132 [2012/03/10(土) 05:20:58] sage
>>60
(略証)
X-Y>0 とする。
f(u) = exp(u) とおくと
∫[Y,X] f(u ') du ' = [ exp(u ') ](Y→X) = exp(X) - exp(Y), ････(1)
台形で近似すると
(X-Y)･{f(X)+f(Y)}/2 = (X-Y){exp(X)+exp(Y)}/2, ････(2)
u '= (X+Y)/2 での接線で近似すると、
(X-Y)･f((X+Y)/2) = (X-Y)･exp{(X+Y)/2}, ････(3)
f(u) は下に凸だから
(3) < (1) < (2)
63 冬 [2012/04/11(水) 23:59:56] sage
>>62
書いた本人も>>52の意味がよくわからないですｗ
すみません。。
∫(dx/1+2^x)=∫1-(2^x)/(1+2^x) dx
=x-{log(1+2^x)}/log2
∫x^4･f(x) dx
=4x^3･∫f(x)dx-… ということをしたかったのかと思いますｗ
65 ninja [2012/04/14(土) 18:37:32] sage
∫ 1/(1+e^x) dx
この不定積分はどうやって求めればよいでしょうか？
お教え下さい。
66 だるまにおん [2012/04/16(月) 21:22:12 ID:darumaotoshi]
>>65
1/(1+e^x)=1-e^x/(1+e^x)と変形して、
e^x/(1+e^x)でt=e^xと置換する、とか。
67 prime_132 [2013/03/16(土) 23:58:44] sage
〔問題030〕
0 = y_n ≦ y_(n-1) ≦ ･････ ≦ y_1 ≦ y_0 = 1 を満たす時
Σ[k=1,n] √{1-(y_k)^2}×{y_(k-1) - y_k} > π/4,
を示せ。
2ch - 数学板 - 不等式スレ７ - 030
68 ななし [2013/03/17(日) 00:00:00] sage
>>67
√{1-(y_k)^2}×{y_(k-1) - y_k} > ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-y^2) × dy,
70 ななし [2013/03/25(月) 02:38:32] sage
出題します。
a>0 のとき、
∫[a,∞) 1/(1＋2^x) dx = ∫[a,2a] 1/(2^x −1) dx
を示してくださいです。
71 prime_132 [2013/04/20(土) 12:38:45] sage
>>70
[a,∞) = [a,2a) + [2a,4a) + [4a,8a) + ････
= Σ[k=0,∞) [Ka, 2Ka) ここに K=2^k,
よって
(左辺) = Σ[k=0,∞) ∫[Ka, 2Ka] 1/(2^x +1) dx (K=2^k)
= Σ[k=0,∞) ∫[a,2a] K/[2^(Ky) +1] dy (x=Ky)
= Σ[k=0,∞) ∫[a,2a] {K/[2^(Ky) -1] - 2K/[2^(2Ky) -1]} dy
= ∫[a,2a] {1/(2^y -1) dy,
72 prime_132 [2013/04/20(土) 12:58:48] sage
【問題076】
n>0 のとき, 次の積分を計算せよ。
∫∬_D x^(n-1) dxdydz
但し, 積分領域Dは x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, とする。
2ch - 数学板 - 面白い問題スレ２０ - 076〜077
73 prime_132 [2013/05/12(日) 22:09:48] sage
〔問題899〕
自然数ｎ>1について
(1/n)^n + (2/n)^n + …… + ((n-1/n))^n < n/(n+1),
を示せ。
何を使って証明するのでしょうか？
2ch - 数学板 - 分かスレ３８０ - 899
74 ななし [2013/05/12(日) 22:13:39] sage
>>73
f(x) = x^n の単調増加性です。
(左辺) = n∫(0,1) ([nx]/n)^n dx
< n∫(0,1) x^n dx
= n/(n+1).
(別法)
二項展開公式より、
(k+1)^(n+1) = k^(n+1) + (n+1)k^n + ････
∴ k^n < {(k+1)^(n+1) - k^(n+1)}/(n+1),
これを与式に代入して、
(左辺) < {n^(n+1) - 0^(n+1)}/｛(n+1)n^n} < n/(n+1).
75 ななし [2013/05/12(日) 22:28:33] sage
>>73
f(y) = y^n の凸性です。
k^n < ∫(k-1/2, k+1/2) y^n dy,
(左辺) < {1/(n^n)}∫(1/2, n-1/2) y^n dy
< {1/(n^n)}∫(0,n) y^n dy
= {1/(n^n)}{n^(n+1)}/(n+1)
= n/(n+1).
>>74
[ ]はガウスの記号で、
k/n≦x<(k+1)/n のとき [nx] = k.
76 ななし [2013/05/18(土) 23:53:05] sage
>>75
〔改作〕
自然数ｎ>1について
(1/n)^n + (2/n)^n + …… + ((n-1/n))^n < 1/(√e) = 0.60653
を示せ。
ただし、(1 + 1/m)^(m+1) > e,
積分を使ってよい。
77 prime_132 [2013/05/19(日) 04:02:16] sage
>>76
〔補題〕 mが自然数のとき
(1 + 1/m)^(m+1) > e,
(略証)
(1 + 1/m)^(m+1) ÷ {1 + 1/(m-1)}^m
= (1 + 1/m){(1 + 1/m)(1 - 1/m)}^m
= (1 + 1/m){1 - 1/(m^2)}^m
< 1,
∵ (1 + 1/m) 1個と {1 - 1/(m^2)} m個の相加平均＝１,
相乗平均＜１,
∴ (1 + 1/m)^(m+1) は単調減少。
一方、(1 + 1/m)^(m+1) → e. (m→∞)
78 ななし [2013/05/24(金) 22:38:27] sage
>>77
〔改作〕 ｍが自然数のとき
(1 + 1/m)^(m+1) > e > (1 + 1/m)^m
(略証)
[1 + 1/(m-1)]^(m-1) ÷ (1 + 1/m)^m
= [1 + 1/(m-1)]^(m-1) × [1 - 1/(m+1)]^m
= [1 - 1/(m+1)][1 + 1/(mm-1)]^(m-1)
< 1,
∵｛[1 - 1/(m+1)] 1個と [1 + 1/(mm-1)] (m-1)個｝の相加平均＝１,
相乗平均＜１,
∴ (1 + 1/m)^m はｍについて単調増加。
あるいは、二項定理から直接
(1 + 1/m)^m = Σ[k=0,m] Ｃ[m,k] /(m^k)
= 1 + 1 + Σ[k=2,m] (1/k!) m(m-1)･････(m-(k-1))/(m^k)
= 1 + 1 + Σ[k=2,m] (1/k!) (1 - 1/m)(1 - 2/m)････(1 - (k-1)/m)
はｍについて単調増加。
79 ななし [2013/05/26(日) 05:05:29] sage
>>46
亀レスですが....
tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
2t < 1+tt < 2, （← 相加・相乗平均, 0<t<1）
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
< ∫[0,1] t^(n-1) /2 dt
= [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
= 1/(2n),
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
> ∫[0,1] (t^n)/2 dt
= [ t^(n+1) /(2n+2) ](x=0,1)
= 1/(2n+2),
80 ななし [2013/05/26(日) 10:37:09] sage
>>79
亀レスですが.....
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
とおくと
Ｉ_(n-1) + Ｉ_(n+1) = 1/n,
これより
Ｉ_n 〜 1/(2n + (2/n)),
81 ななし [2013/05/26(日) 19:56:26] sage
>>79 （修正版）
亀レスですが....
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
とおくと
Ｉ_n < 1/(2n),
Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
= 1/{2n + 4/(n+3)}
> 1/{2n + (4/n)},
82 ななし [2013/06/02(日) 20:11:58] sage
>>81
Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt
これは t=1 で接線を引いて
1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
= (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
= (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
= 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
= 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.