∫積分∫87コメント

1 にこ id:vk-YzJyEQ4.

2006-11-01(水) 23:29:19 [削除依頼]
∫e^(-x^2)dxってどうやって解くの?
  • 68 ななし id:UigEctd0

    2013-03-17(日) 00:00:00 [削除依頼]
    >>67

     √{1-(y_k)^2}×{y_(k-1) - y_k} > ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-y^2) × dy,
  • 69 ななし id:UigEctd0

    2013-03-17(日) 02:00:44 [削除依頼]
    >>51

    近似値 1.4722786081・・・
  • 70 ななし id:4lROXTw0

    2013-03-25(月) 02:38:32 [削除依頼]
    出題します。

    a>0 のとき、
     ∫[a,∞) 1/(1+2^x) dx = ∫[a,2a] 1/(2^x −1) dx
    を示してくださいです。
  • 71 prime_132 id:iD9Inv3/

    2013-04-20(土) 12:38:45 [削除依頼]
    >>70

     [a,∞) = [a,2a) + [2a,4a) + [4a,8a) + ・・・・
         = Σ[k=0,∞) [Ka, 2Ka)    ここに K=2^k,
    よって
     (左辺) = Σ[k=0,∞) ∫[Ka, 2Ka] 1/(2^x +1) dx (K=2^k)
      = Σ[k=0,∞) ∫[a,2a] K/[2^(Ky) +1] dy     (x=Ky)
      = Σ[k=0,∞) ∫[a,2a] {K/[2^(Ky) -1] - 2K/[2^(2Ky) -1]} dy
      = ∫[a,2a] {1/(2^y -1) dy,
  • 72 prime_132 id:iD9Inv3/

    2013-04-20(土) 12:58:48 [削除依頼]
    【問題076】
    n>0 のとき, 次の積分を計算せよ。
    ∫∬_D x^(n-1) dxdydz
    但し, 積分領域Dは x^2 + y^2 + z^2 ≦ 1, とする。

    2ch - 数学板 - 面白い問題スレ20 - 076〜077
  • 73 prime_132 id:gpkFBuh0

    2013-05-12(日) 22:09:48 [削除依頼]
    〔問題899〕
    自然数n>1について
     (1/n)^n + (2/n)^n + …… + ((n-1/n))^n < n/(n+1),
    を示せ。

    何を使って証明するのでしょうか?

     2ch - 数学板 - 分かスレ380 - 899
  • 74 ななし id:gpkFBuh0

    2013-05-12(日) 22:13:39 [削除依頼]
    >>73
    f(x) = x^n の単調増加性です。

     (左辺) = n∫(0,1) ([nx]/n)^n dx
         < n∫(0,1) x^n dx
         = n/(n+1).


    (別法)
    二項展開公式より、
     (k+1)^(n+1) = k^(n+1) + (n+1)k^n + ・・・・
    ∴ k^n < {(k+1)^(n+1) - k^(n+1)}/(n+1),
    これを与式に代入して、
     (左辺) < {n^(n+1) - 0^(n+1)}/{(n+1)n^n} < n/(n+1).
  • 75 ななし id:gpkFBuh0

    2013-05-12(日) 22:28:33 [削除依頼]
    >>73
    f(y) = y^n の凸性です。

     k^n < ∫(k-1/2, k+1/2) y^n dy,

     (左辺) < {1/(n^n)}∫(1/2, n-1/2) y^n dy
         < {1/(n^n)}∫(0,n) y^n dy
         = {1/(n^n)}{n^(n+1)}/(n+1)
         = n/(n+1).


    >>74
     [ ]はガウスの記号で、
     k/n≦x<(k+1)/n のとき [nx] = k.
  • 76 ななし id:x.dJXaQ0

    2013-05-18(土) 23:53:05 [削除依頼]
    >>75

    〔改作〕
    自然数n>1について
     (1/n)^n + (2/n)^n + …… + ((n-1/n))^n < 1/(√e) = 0.60653
    を示せ。
    ただし、(1 + 1/m)^(m+1) > e,
    積分を使ってよい。
     
  • 77 prime_132 id:cJQ0DAs.

    2013-05-19(日) 04:02:16 [削除依頼]
    >>76
    〔補題〕 mが自然数のとき
     (1 + 1/m)^(m+1) > e,

    (略証)
     (1 + 1/m)^(m+1) ÷ {1 + 1/(m-1)}^m
     = (1 + 1/m){(1 + 1/m)(1 - 1/m)}^m
     = (1 + 1/m){1 - 1/(m^2)}^m
     < 1,
    ∵ (1 + 1/m) 1個と {1 - 1/(m^2)} m個の相加平均=1,
      相乗平均<1,

    ∴ (1 + 1/m)^(m+1) は単調減少。

    一方、(1 + 1/m)^(m+1) → e. (m→∞)
  • 78 ななし id:yzFYCGo1

    2013-05-24(金) 22:38:27 [削除依頼]
    >>77
    〔改作〕 mが自然数のとき
     (1 + 1/m)^(m+1) > e > (1 + 1/m)^m

    (略証)
     [1 + 1/(m-1)]^(m-1) ÷ (1 + 1/m)^m
     = [1 + 1/(m-1)]^(m-1) × [1 - 1/(m+1)]^m
     = [1 - 1/(m+1)][1 + 1/(mm-1)]^(m-1)
     < 1,
    ∵{[1 - 1/(m+1)] 1個と [1 + 1/(mm-1)] (m-1)個}の相加平均=1,
      相乗平均<1,
    ∴ (1 + 1/m)^m はmについて単調増加。


    あるいは、二項定理から直接
     (1 + 1/m)^m = Σ[k=0,m] C[m,k] /(m^k)
      = 1 + 1 + Σ[k=2,m] (1/k!) m(m-1)・・・・・(m-(k-1))/(m^k)
      = 1 + 1 + Σ[k=2,m] (1/k!) (1 - 1/m)(1 - 2/m)・・・・(1 - (k-1)/m)
    はmについて単調増加。
  • 79 ななし id:Zcc7/lg.

    2013-05-26(日) 05:05:29 [削除依頼]
    >>46
    亀レスですが....

     tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
     2t < 1+tt < 2, (← 相加・相乗平均, 0<t<1)

     I_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
        < ∫[0,1] t^(n-1) /2 dt
        = [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
        = 1/(2n),

     I_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
        > ∫[0,1] (t^n)/2 dt
        = [ t^(n+1) /(2n+2) ](x=0,1)
        = 1/(2n+2),
  • 80 ななし id:Zcc7/lg.

    2013-05-26(日) 10:37:09 [削除依頼]
    >>79
    亀レスですが.....

     I_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
    とおくと
     I_(n-1) + I_(n+1) = 1/n,
    これより
     I_n 〜 1/(2n + (2/n)),
  • 81 ななし id:DeCYBOH.

    2013-05-26(日) 19:56:26 [削除依頼]
    >>79 (修正版)
    亀レスですが....

     I_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
    とおくと
     I_n < 1/(2n),
     I_n = 1/(n+1) - I_(n+2)
       > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
       = (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
       = (n+3)/{2n(n+3) + 4}
       = 1/{2n + 4/(n+3)}
       > 1/{2n + (4/n)},
  • 82 ななし id:b93PssZ/

    2013-06-02(日) 20:11:58 [削除依頼]
    >>81

     I_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
        = ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt
    これは t=1 で接線を引いて
      1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
    としたことに相当する。
    さらに
     1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
    から、
     I_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
        = (nn+6n+10)/{2(n+1)(n+2)(n+3)}
        = (nn+6n+10)/{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
        = 1/{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
        = 1/{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}.
  • 83 prime_132 id:./P/1Ym1

    2013-08-02(金) 01:21:22 [削除依頼]
    〔問題〕
    微分方程式
     f '(x) - {k^2 - f(x)^2}^2 = 0,
    の解が
     f(x) = ±k tanh(kx), ?
    になることを示そうと思ったけど挫折した。
    どなたかオナシャス。

     2ch - 数学板 - 分かスレ383 - 102-105
  • 84 ななし id:./P/1Ym1

    2013-08-02(金) 01:38:19 [削除依頼]
    >>83
     y=f(x) とする。
     0≦y≦k としてもよい。

     4k^3・x = ∫(4k^3)/(k^2 - y^2)^2 dy
        = k/(k-y) - k/(k+y) + 2arctanh(y/k)
        = k/(k-y) - k/(k+y) + log|(k+y)/(k-y)|
        = G(y/k),

    ∴ f(x) = k・G^(-1)(4k^3・x),
  • 85 prime_132 id:J4d/xeW0

    2013-08-20(火) 01:09:32 [削除依頼]
    〔問題484〕
     I = ∫_(-∞,∞) exp(ix)/(1+xx) dx

    これが分かりません。よろしくお願いします。

    2ch - 数学板 - 分かスレ383 - 484
  • 86 ななし id:J4d/xeW0

    2013-08-20(火) 01:12:24 [削除依頼]
    >>85

     I = ∫_[0,∞) 2cos(x)/(1+xx) dx
       = J(1),
    ここに  
     J(t) = ∫_[0,∞) 2cos(tx)/(1+xx) dx,
    はtの偶函数。

     J(t) - J "(t) = ∫_[0,∞) 2cos(tx)dx
            = (1/t)∫[0,∞) 2cos(y)dy (t>0)
            = 0,

    ∴ J(t) = J(0)cosh(t),

     J(0) = ∫[0,∞) 2/(1+xx) dx
        = [ 2arctan(x) ](x=0,∞)
        = π,

    ∴ J(t) = πcosh(t),
  • 87 ななし id:J4d/xeW0

    2013-08-20(火) 10:36:58 [削除依頼]
    >>86
     訂正、スマソ

     J(t) = J(0)exp(−|t|)
        = π・exp(−|t|),
     I = π/e.
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